English version

Nel 1930 il logico e matematico austriaco Kurt Gödel, una delle menti più profonde del secolo, enunciò i suoi due teoremi d’incompletezza. Il primo teorema afferma che un sistema formale che include l’aritmetica non può essere contemporaneamente coerente, cioè senza contraddizioni, e completo, cioè capace di dimostrare tutte le verità del sistema. Se non vogliamo sacrificare la coerenza, dobbiamo accettare che ci siano proposizioni che non possono essere dimostrate, le cosiddette proposizioni indecidibili.
Il paradosso del mentitore ci offre un esempio immediato di proposizione indecidibile. La proposizione “Questa frase è falsa”

• non può essere vera, perché avremmo una contraddizione
• non può essere falsa, perché allora sarebbe vera e avremmo di nuovo una contraddizione

Questo tipo di paradosso si genera quando una proposizione è autoreferenziale, cioè parla di se stessa. Il nucleo della dimostrazione di Gödel è la costruzione, all’interno di un sistema formale e coerente che include l’aritmetica, di una variante del paradosso del mentitore. Per semplificare, possiamo pensare che la proposizione sia la seguente “Questa proposizione non è dimostrabile”. Se è dimostrabile, abbiamo una contraddizione, e ciò è impossibile in un sistema coerente. Quindi non è dimostrabile. Abbiamo quindi una proposizione vera e non dimostrabile.

Questo teorema ebbe l’effetto di una bomba nel mondo matematico. Da quel momento in poi, ogni studioso avrebbe potuto imbattersi, senza alcuna possibilità di saperlo a priori, nel tentativo impossibile di dimostrare una proposizione indecidibile. Ad esempio, la famosa congettura di Goldbach “Ogni numero pari è esprimibile come somma di due numeri primi” potrà mai essere dimostrata? Oppure è una delle verità non dimostrabili?

Il nostro mondo è permeato di tecnologia basata sui principi della fisica quantistica: la microelettronica, i laser, la risonanza magnetica, i LED, l’effetto fotoelettrico alla base della produzione di energia solare. L’aspetto affascinante della fisica quantistica è che la sua applicazione su larga scala è basata su una teoria molto ostica da capire, ricca di concetti che contrastano col senso comune, come il noto paradosso del gatto di Schrodinger. Questa difficoltà è riassunta dalla frase che Richard Feynman, uno dei fisici più importanti del Novecento, pronunciò in una conferenza nel 1964:
“Penso di poter affermare con sicurezza che nessuno capisce la meccanica quantistica”.

Il teorema di Gödel, a differenza della fisica quantistica, non ha implicazioni pratiche immediate nella vita quotidiana. Tuttavia, proprio come i paradossi della fisica quantistica, mette in crisi la nostra percezione di assoluta distinzione tra ciò che è vero e falso, tra ciò che è dimostrabile e ciò che non lo è. Il punto decisivo è che Gödel mise in luce un limite intrinseco dello sforzo umano di comprendere la realtà. Anche in un sistema formale coerente come l’aritmetica, esistono verità che non possono essere dimostrate pur essendo interne al sistema stesso.

Una delle implicazioni più discusse riguarda la natura della mente. Secondo Lucas (1961) e Penrose (1989), la mente umana è in grado di riconoscere la verità di proposizioni indecidibili, cosa che una macchina formale non può fare. Se questa intuizione è corretta, la mente non sarebbe riducibile a un algoritmo: possiederebbe una dimensione non computazionale, capace di cogliere verità che nessun sistema formale può racchiudere. Gödel stesso era un convinto platonista: riteneva che le verità matematiche esistano indipendentemente dalla mente umana e che la matematica descriva una realtà oggettiva, non costruita.
In questo senso, la scienza sembra avvicinarsi alla spiritualità. A chi ritiene legittimamente di credere solo a ciò che è scientificamente dimostrabile, Gödel ricorda che ogni sistema di conoscenza, per quanto rigoroso, incontra inevitabilmente verità che non possono essere spiegate ma solo riconosciute e accettate.

Se vuoi, invia il tuo commento a info@esperienzedivalore.it, sarò felice di risponderti.