La matematica vedica e la divisione per 109
Nel mio precedente articolo La matematica vedica e il calcolo veloce ho parlato della curiosità suscitata dalle prime letture sulla matematica vedica, che ha origine dai testi sacri Indù, i Veda. Rimasi stupito quando appresi che le quattro operazioni elementari (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) possono essere eseguite in maniera diversa da quella che abbiamo imparato alla scuola primaria. Questa è solo una delle particolarità della matematica vedica, che contiene molte tecniche di calcolo “alternative” che sono ottimi esercizi di ginnastica mentale.
Concentriamoci ora sulla divisione. Ormai capita raramente, ma se dovessimo fare una divisione con carta e penna faremmo la classica divisione “in colonna”, nella quale calcoliamo in sequenza quozienti e resti. La “nostra” divisione si sviluppa in verticale, nella matematica vedica si sviluppa in orizzontale.
Circa 25 anni fa stavo guardando una puntata di un noto programma televisivo del sabato sera, nel quale i concorrenti si cimentavano in prove di abilità nelle quali dovevano completare una data attività in un tempo definito. Quella sera c’era un arzillo ottantenne che scommise di riuscire a calcolare in 2 minuti le prime 30 cifre decimali della divisione di un numero minore di 100 per 109. La prova ebbe inizio, scelsero un numero a caso in una busta chiusa. Non lo ricordo, ma supponiamo che fosse 67.
67 : 109 = 0,614678……
Quando venne avviato il cronometro, il concorrente iniziò a snocciolare in sequenza le cifre della parte decimale del risultato, all’incirca una ogni 2-3 secondi:
6 … 1 … 4 … 6 … 7 … 8 …
e riuscì a completare senza errori la serie dei 30 numeri decimali nel limite dei due minuti.
Vista la mia naturale curiosità per i numeri e la matematica, rimasi affascinato e guardai attentamente quella prova. Il concorrente stava facendo a mente dei calcoli, si vedeva chiaramente dai movimenti della bocca, ma ero sicuro che non stesse eseguendo la classica divisione in colonna. Pensai che stesse usando un altro metodo.
Dopo circa 20 anni, quando imparai il procedimento della divisione “a una riga” della matematica vedica1, ricordai quell’episodio.
Applicai il metodo alla divisione per 109, e capii che quell’arzillo concorrente aveva usato una scorciatoia che dipende proprio dall’aver scelto 109 come divisore e un numero minore di 109 come dividendo. L’algoritmo si semplifica notevolmente e non è impossibile eseguirlo a mente. Le cifre decimali si calcolano col seguente procedimento iterativo:
67 diviso 11 = 6 resto 1
Il quoziente (in questo caso 6) è la cifra decimale del risultato. Poi si costruisce il numero 1*10 + 6 = 16 (resto * 10 + quoziente), e si procede con 16 diviso 11, e poi si procede alla stessa maniera.
16 diviso 11 = 1 resto 5
51 diviso 11 = 4 resto 7
74 diviso 11 = 6 resto 8
86 diviso 11 = 7 resto 9
97 diviso 11 = 8 resto 9
Quindi il numero è 0,614678….
Quando ci avviciniamo alle altre culture con mente aperta e senza pregiudizi, spesso impariamo qualcosa.
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